TUGAS MANDIRI 6 - MATEMATIKA DISKRIT KAMPUS MILLENIAL ITBI

Nama : Mutiarani Sinaga

Jurusan: Sistem informasi. 

Kelas : Malam 

A . Jelaskan pengertian dari algoritma.

Jawaban.  

Dalam matematika dan ilmu komputer, algoritme adalah prosedur langkah-demi-langkah untuk penghitungan. Algoritme digunakan untuk penghitungan, pemrosesan data, dan penalaran otomatis. Algoritme adalah metode efektif diekspresikan sebagai rangkaian terbatas dari instruksi-instruksi yang telah didefinisikan dengan baik.

B. Jelaskan antara  algoritma dan bahasa pemograman komputer. 

Jawaban : 

Algoritma adalah langkah-langkah menyelesaikan masalah, sedangkan program adalah realisasi algoritma dalam bahasa pemrograman. Program ditulis dalam salah satu bahasa pemrograman dan kegiatan membuat program disebut pemrograman (programming).

C. Apakah perbedaan antara algoritma dan logika? 

Jawaban : 

Perbedaan logika dan algoritma adalah jika logika dalam konteks komputer lebih mengarah pada bagaimana pola berpikir yang rasional, tepat dan logis dalam memecahkan suatu masalah, sedangkan algoritma cenderung pada prosedur menyelesaikan suatu masalah yang runtut dan logis 

D.  Jelaskan pengertian flowchart. 

Jawaban : 

Flowchart adalah adalah suatu bagan dengan simbol-simbol tertentu yang menggambarkan urutan proses secara mendetail dan hubungan antara suatu proses (instruksi) dengan proses lainnya dalam suatu program.

2. Jenis-jenis flowchart,yaitu:

1.Flowchart sistem (System flowchart).

Merupakan bagan yang menunjukan alur kerja secara keseluruhan dan menjelaskan urutan dari prodesur-prodesur yang ada didalam sistem,atau sebagai diagram alir program yang mengambarkan urutan pengerjaan dari suatu program degan memanfaatkan simbol-simbol tertentu.

2.Flowchart dokumen (Document flowchart).

Merupakan bagan alir yang menunjukan arus dari laporan dan formulir termasuk tembusan-tembusannya. Berfungsi untuk menelusuri alur dari data yang ditulis melalui sistem.

3.Flowchart skematik (Schematic flowchart).

Yaitu untuk menggambarkan suatu sistem atau prosedur. Perbedaannya bukan hanya menggunakan simbol-simbol flowchart bagan aliran sistem,tetapi juga menggunakan gambar-gambar komputer,peripheral,from-from atau peralatan lainnya yang digunakan. Gambar-gambar ini adalah untuk memudahkan komunikasi kepada orang yang kurang

4.Flowchart program (Program flowchart).

Merupakan bagan yang menjelaskan keterangan lebih rinci tentang langkah-langkah dari proses program.

5.Flowchart proses (Process flowchart).

Merupakan teknik pengambaran rekayasa industrial yang memecah dan menganalisis langkah-langkah selanjutnya dalam suatu prosedur atau sistem.

E. Buat 3 contoh penyelesaian dengan metode indeks matematika. Contoh sesuai dengan latihan latihan  pertemuan slide ke 13 . 

Contoh 1

Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n=(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua :
Asumsikan n=(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Langkah Ketiga

Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) Benar 

Contoh 2

Buktikan n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(1) benar
1³ + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, n=(1) benar

Langkah Kedua: 
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
k³ + 2k = 3m,    k ∈ NN

Langkah Ketiga:

Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ ZZ

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k² + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k² + k + 1), maka
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, n=(k + 1) benar

Contoh 3 

Buktikan menggunakan induksi matematika untuk deret 2⁰+2¹+2²+2³+……+2ⁿ = 2ⁿ⁺¹-1

Pembahasan

Kita memasukkan nilai n=0 maka, P₀=1. Kita dapat buktikan dengan cara memasukkan nilai 0 ke dalam persamaan 2ⁿ⁺¹-1.

P_{0 :} 2⁰⁺¹-1 = 1, pernyataan tersebut benar.

Kemudian, kita coba masukkan nilai k dan k+1 pada fungsi deret di atas.. Diasumsikan jika P_k benar maka P_k+1 benar. Maka kita harus menguji ruas kanan dan ruas kiri.

P_k+1 : 2⁰+2¹+2²+2³+….+2^k+1 = 2^k+2-1

P_k+1 : 2^k+1 -1 + 2^{k+1 = 2.} 2^k+1 – 1

P_k+1 = 2^k+2 – 1

Terbukti bahwa P_k benar maka P_k+1 juga benar.